偏信令我们信数字多于信自己

  当我们在做数学题时,如果使用不同的方法两次计算的结果不一样时,人们总是 毫不犹豫会认为自己的计算出错了。因为我们偏颇地确信计算结果应该是一致的,数 字本身不可能自相矛盾。
 
  为什么我们应该相信数字而不是自己呢?我们一起来分析其中的原因:众所周知, 数学法则肯定是具有一致性的,因为它们在逻辑上都是真实存在的,在逻辑上真实存 在的论断不会相互矛盾。当然,我们要相信数学法则的一致性,首先必须相信数学法则在逻辑上是真实存 在的,同时还必须相信数学法则是实实在在的。一列数字只会有一个和,这个论点是 真的,仅仅是因为数学法则是真实存在的具体事物。这就很容易让我们的认知偏向于 数学所呈现的数字。
 
  既然自然数存在,那么数学法则也是真实存在的。与之相比,其他证明办法都基 于那些不太能够达到不证自明境界的原理。如果你跟99.8%的数学研究者一样,跟 99.8%的用过计算器的人一样,就会相信数学法则的一致性,这几乎肯定是因为我们发 自内心地相信自然数从某种重要意义上来说是真实存在的。
 
  诚然,“真实”这个词用在这里有些含糊。如果我们想理解得更深刻一点,让我 们给它下一个定义:“自然数是真实存在的”就意味着数学法则是具有一致性的。
 
  尽管我们相信自然数是真实存在的,却无法找到任何有力的证据来证明这一信念。 亚历山大?叶塞林?沃尔平是一位偏执的数学家,他曾提出了 “叶塞林?沃尔平理论”: 因为我们没有大量的经验,所以我们无法判断它们是否表现得具有一致性,甚至我们 无法判断它们是否真实存在。
 
  根据“叶塞林?沃尔平理论”,我们应该只去关注那些“小到足够让人思考的地 步”的数字。这种理论被视为“极端有限主义”,而且几乎没有数学家会去认真对待它, 当然更别提去认同了。亚历山大?叶塞林?沃尔平的对“真实”的偏颇吸收,引来了 广泛的争论。
 
  为了反驳这种“极端有限主义”,主流数学家提出这样的问题:“我们究竟如何 来判断那些数字属于‘小到足够让人思考的地步’的范畴呢?或许一两位的数字肯定算, 而30位的数字就不算。那么,界限到底应该是多少位? ”
 
  著名数学家斯坦福大学教授哈维?弗彼得曼曾试图批驳“叶塞林?沃尔平理论”, 他说:“我从2开始,询问他这个数字是否‘真实’或者能让人感到‘真实’的效果。 他几乎立即表示同意。然后我询问4,他仍然同意,但略有停顿。接下来是8,他还是 同意,但更加犹疑。反复这样做,直到他处理这种讨论的方式已经很明显了。当然, 他已经准备好回答‘是’ 了,尽管他在面对2的100次方时要比面对2时犹疑得多。(2 的100次方就是一个30位的数字。)除此之外,我也没办法这么快就得到这个结果。”
 
  几乎每个数学家在面对大数字的真实性时都与弗彼得曼持有相同立场,几乎没有 人和叶塞林?沃尔平站到一边去当“极端有限主义者”。最后,弗彼得曼和叶塞林? 沃尔平达成了共识。我们不但相信数学法则,也相信代数、几何和数学的其他部分是 真实可信的。但我们几乎没有丝毫逻辑理念和证据来支持这种信念。
 
  经过深思,我们还是可以了解这种没有逻辑和证据支持的信念,这似乎并不奇怪。 毕竟,蜘蛛知道如何织网,并不需要去寻找“第一定理”来推断出织网技术或者认真 观察其他蜘蛛的工作过程以便推断出来。从原则上来讲,我们找不到反对人们硬生生 地理解数学的理由。
 
  也许可以辩解说蜘蛛的本能反应是下意识的。
 
  那么,我们的信念必须满足一些其他的基础,然后才被划分为信仰、直觉、本能、 启示或者“超感官知觉”等。其实,这一切或许正是因为人类的大脑是由很多相连的 部分组成的,这样说只是人们的错觉但也可能是真理。
 
  质疑这些的一个重要原因是,他们之间存在着太多分歧,以至于无法在细节上达 成一致。数学真相容易被那些直觉敏锐的人理解,这一点已经由不同时代、不同地点 的不同的人以不同的方式证实过了。
 
  1888年,伟大的德国数学家大卫?希尔伯特证明了自己的“基础命题”,这个命 题标志着现代代数的创立。他通过“将无限集合当成具体的对象”这一前所未有的创 举作出了证明,他的学术对手保罗`戈尔丹对此嘲笑说:“这好像不是数学,而是神 学了。”然而,这一技巧创新几年后就带来了丰硕的研究成果,甚至戈尔丹也不得不承认“神学也有用处”。
 
  总之,在数学领域存在着正确的命题。“正确”并不意味着“可以被证明”,而 仅仅意味着通常意义上的正确,更多的甚至可以说是固执偏向。但是这些命题必须跟 自然数体系有关才能是真实的。此外,这些命题都是正确的。因此,自然数在人们发 现它们之前也是存在的,而且无论人们是否发现它们,自然数都是真实存在的。这样 的数学命题深奥,但我们不得不承认,它来源于某个人的偏颇“研究”。
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